Olivier Schiffmann : La face mathématique (cachée) des théories physiques

Chercheur au Laboratoire de mathématiques d'Orsay (LMO - Université Paris-Saclay, CNRS), Olivier Schiffmann est lauréat du prix Gabrielle Sand 2020 de l’Académie des sciences. Ses travaux portent sur la théorie géométrique des représentations, notamment en lien avec la physique mathématique (théorie des cordes), la théorie des algèbres de Lie et groupes quantiques de dimension infinie, la géométrie énumérative des espaces de modules de fibrés vectoriels sur les courbes et les surfaces, ainsi que la combinatoire algébrique. 

Au LMO, Olivier Schiffmann travaille au sein d’une équipe d’une petite centaine de personnes baptisée « arithmétique et géométrie algébrique » (AGA), en hommage au séminaire de géométrie algébrique fondé à Bures-sur-Yvette par le brillant et iconoclaste mathématicien Alexandre Grothendieck, fondateur de la géométrie algébrique moderne de la deuxième moitié du XXe siècle. 

La géométrie algébrique et l’arithmétique sont les principales thématiques de cette équipe, mais Olivier Schiffmann en étudie une plus récente : la théorie géométrique des représentations. « Ce sont des mathématiques influencées par la physique théorique, en particulier la théorie des cordes, expose-t-il. Une fois qu’on a compris quelles sont les symétries du modèle théorique qui interviennent, elles en réduisent la complexité. Mon travail consiste à découvrir et comprendre ces symétries cachées des modèles de physique. Mais je peux aussi décider d’extrapoler mes propres modèles mathématiques pour en chercher les symétries. »

Groupes de symétries à l’infini

Un autre aspect consiste à partir directement du groupe de symétries. « La symétrie est toujours un groupe, explique le mathématicien. Si nous réalisons une première opération qui préserve globalement le système, et si nous la composons avec une deuxième opération qui le préserve également, alors nous en obtenons une troisième qui préserve aussi globalement le système. » Un système qui fonctionne également à l’inverse, pour revenir à l’état initial. L’ensemble forme un groupe de façon abstraite (groupe qui donne ensuite naissance à une algèbre de Lie). On peut ainsi tourner une sphère le long d’un axe, puis opérer une rotation selon un autre axe. « Nous obtenons un premier groupe de Lie (du nom du mathématicien fondateur de la notion de groupe de symétrie) qui nous donne toutes les façons possibles de tourner une sphère sur elle-même. »

L’objectif est de comprendre quels sont tous les modèles pour lesquels ce groupe est un groupe de symétries. « En fait, je renverse un peu la logique, démontre Olivier Schiffmann. Je pars de l’objet mathématique lui-même - le groupe de symétries - et je tente de cerner quelles sont toutes les façons différentes de le réaliser comme opérateur, en ne variant pas certains modèles. »

Ainsi le chercheur découvre-t-il en permanence de nouveaux modèles et de nouveaux groupes. « De plus en plus de directions apparaissent au fur et à mesure des recherches. Il existe en réalité un échange permanent entre l’objet mathématique lui-même et la réalisation en tant que groupe de symétries. »  

Le programme de Langlands

Une bonne partie de la théorie des représentations est dédiée au programme de Langlands, dans lequel de grands mathématiciens se sont illustrés, tels Gérard Laumon à Orsay. Un des aspects du programme de Langlands concerne les symétries associées à des courbes. Sur cet objet de dimension 1, le chercheur tente de classifier et de comprendre la géométrie des « fibrés vectoriels ». « Un grand pan de la géométrie est fabriqué à partir des courbes, précise Olivier Schiffmann. J’étudie aussi ce qu’il se passe lorsqu’on remplace la courbe par une surface, ou même un volume de dimension 3. Dans ce cas, nous obtenons des symétries beaucoup plus exotiques et nous nous apercevons qu’en dimension 2 ou 3, nous sommes très proches de la théorie des cordes. » 

En 2012, Olivier Schiffmann a démontré (en collaboration avec Eric Vasserot) un cas important d’une conjecture de physique très influente, celle d’Alday, Gaiotto et Tachikawa (AGT). « Elle prédisait que des modèles en quatre dimensions pouvaient se calculer à partir de modèles en deux dimensions. » Plus proche dans le temps, le chercheur résout un autre problème il y a quatre ans : il calcule les invariants géométriques des espaces de modules de Higgs. Des travaux mathématiques d’intérêt majeur qui lui valent aujourd’hui de recevoir, avec grand plaisir, le prix de l’Académie des sciences. 

Une jeunesse baignée par les maths

Il tient sa passion pour les mathématiques de son père, lui-même mathématicien. « J’ai bénéficié de toute son expérience dès l’âge de 12 ans à Strasbourg, où j’ai grandi. Ma mère est artiste. Ainsi, j’ai grandi en voyant ma mère et mon père passer leur journée à chercher une manière de représenter une idée, chacun sur leur tableau. » Olivier Schiffmann part en camp d’été de mathématiques aux États-Unis tous les ans à partir de ses 14 ans. « Nous apprenions les mathématiques toute la journée. J’adorais ça, au point de m’en rendre malade la première année. L’ambiance était très motivante, avec des jeunes du monde entier, dont certains ont depuis obtenu la médaille Fields. » De 15 à 20 ans, il suit le « ROSS Mathematic Program » à l’Université de Columbus, dans l’Ohio. « Je me souviens qu’on y apprenait dans un esprit de recherche. J’ai rencontré là-bas les chercheurs avec lesquels nous constituons aujourd’hui une communauté internationale très soudée. » Après ses classes prépa à Strasbourg, Olivier Schiffmann est reçu à l’ENS à Paris. Il soutient sa thèse en 2000 à l’Université de Cergy-Pontoise, en cotutelle avec les prestigieuses universités américaines Harvard et MIT, puis part deux ans effectuer un post-doc à l’Université de Yale. De retour à Paris en 2003, il est directement recruté au Département de mathématiques (DMA) de l’ENS Paris, puis à l’Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (IMJ-PRG). En 2010, il arrive au LMO, à Orsay. 

Depuis deux ou trois ans, Oliver Schiffmann lutte avec un problème resté irrésolu. Pour autant, son travail de chercheur est loin d’être solitaire. « Un mathématicien doit éviter de se confronter tout seul à son problème. Je discute beaucoup avec mes collègues et tant mieux s’ils arrivent ensuite à faire mieux que moi à partir de mes idées. J’aime aussi beaucoup travailler avec mes étudiants en thèse. Je ne leur donne pas de problèmes que je sais résoudre. En réalité, je cherche avec eux, et c’est comme cela que je leur apprends à travailler. Communiquer est la partie la plus amusante de notre métier. »